math - شرح - معادلات رياضيات مع الحل




حل المعادلة الخطية (7)

ألق نظرة على Microsoft Solver Foundation .

مع ذلك يمكنك كتابة رمز مثل هذا:

  SolverContext context = SolverContext.GetContext();
  Model model = context.CreateModel();

  Decision a = new Decision(Domain.Real, "a");
  Decision b = new Decision(Domain.Real, "b");
  Decision c = new Decision(Domain.Real, "c");
  model.AddDecisions(a,b,c);
  model.AddConstraint("eqA", -44.3940 == 50*a + 37*b + c);
  model.AddConstraint("eqB", -45.3049 == 43*a + 39*b + c);
  model.AddConstraint("eqC", -44.9594 == 52*a + 41*b + c);
  Solution solution = context.Solve();
  string results = solution.GetReport().ToString();
  Console.WriteLine(results); 

هنا هو الإخراج:
=== تقرير Solver Foundation Service ===
التاريخ: 04/20/2009 23:29:55
اسم الموديل: الافتراضي
القدرات المطلوبة: LP
حل الوقت (مللي ثانية): 1027
الوقت الإجمالي (مللي ثانية): 1414
حل حالة الإنجاز: الأمثل
Solver المحددة: Microsoft.SolverFoundation.Solvers.SimplexSolver
توجيهات:
Microsoft.SolverFoundation.Services.Directive
خوارزمية: البدائية
الحساب: الهجين
التسعير (بالضبط): الافتراضي
التسعير (مزدوج): SteepestEdge
الأساس: سلاك
المحور المحوري: 3
=== تفاصيل الحل ===
الأهداف:

قرارات:
a: 0.0785250000000004
b: -0.180612500000001
ج: -41.6375875

أحتاج إلى حل برمجيًا لنظام المعادلات الخطية في C أو الهدف C أو (إذا لزم الأمر) C ++.

إليك مثال على المعادلات:

-44.3940 = a * 50.0 + b * 37.0 + tx
-45.3049 = a * 43.0 + b * 39.0 + tx
-44.9594 = a * 52.0 + b * 41.0 + tx

من هذا ، أود الحصول على أفضل تقريب لـ a و b و tx .


أنا شخصياً جزء من خوارزميات الوصفات الرقمية . (أنا مغرم بإصدار C ++.)

سوف يعلمك هذا الكتاب لماذا تعمل الخوارزميات ، بالإضافة إلى عرض بعض التطبيقات التي تم تصحيحها بشكل جيد لهذه الخوارزميات.

بالطبع ، يمكنك استخدام CLAPACK بشكل أعمى (لقد استخدمته بنجاح كبير) ، لكنني أولًا استخدم خوارزمية إزالة Gaussian للقضاء على الأقل على فكرة خافتة عن نوع العمل الذي تم استخدامه في صنع هذه الخوارزميات مستقرة.

في وقت لاحق ، إذا كنت تفعل الجبر الخطي الأكثر إثارة للاهتمام ، فإن إلقاء نظرة على الكود المصدري لـ Octave سوف يجيب على الكثير من الأسئلة.


من حيث كفاءة وقت التشغيل ، أجاب البعض الآخر بشكل أفضل من I. إذا كان لديك دائمًا نفس عدد المعادلات مثل المتغيرات ، فأنا أحب قاعدة Cramer حيث يسهل تنفيذها. ما عليك سوى كتابة دالة لحساب محدد المصفوفة (أو استخدام واحدة مكتوبة بالفعل ، وأنا متأكد من أنه يمكنك العثور على واحدة هناك) ، وتقسيم محددات المصفوفة اثنين.


من صياغة سؤالك ، يبدو أن لديك معادلات أكثر من المجهول وتريد تقليل التناقضات. يتم ذلك عادة مع الانحدار الخطي ، مما يقلل من مجموع المربعات من التناقضات. بناءً على حجم البيانات ، يمكنك القيام بذلك في جدول بيانات أو في حزمة إحصائية. R عبارة عن حزمة مجانية عالية الجودة تعمل على الانحدار الخطي ، من بين أشياء أخرى كثيرة. هناك الكثير من الانحدار الخطي (والكثير من مسكتك) ، ولكن من السهل القيام به في الحالات البسيطة. إليك مثال R باستخدام بياناتك. لاحظ أن "tx" هو اعتراض النموذج الخاص بك.

> y <- c(-44.394, -45.3049, -44.9594)
> a <- c(50.0, 43.0, 52.0)
> b <- c(37.0, 39.0, 41.0)
> regression = lm(y ~ a + b)
> regression

Call:
lm(formula = y ~ a + b)

Coefficients:
(Intercept)            a            b  
  -41.63759      0.07852     -0.18061  

يمكنك حل هذا باستخدام برنامج بالطريقة نفسها تمامًا التي تقوم بحلها يدويًا (مع الضرب والطرح ، ثم إعادة النتائج إلى المعادلات). هذا هو الرياضيات مستوى المدرسة الثانوية جميلة جدا.

-44.3940 = 50a + 37b + c (A)
-45.3049 = 43a + 39b + c (B)
-44.9594 = 52a + 41b + c (C)

(A-B): 0.9109 =  7a -  2b (D)
(B-C): 0.3455 = -9a -  2b (E)

(D-E): 1.2564 = 16a (F)

(F/16):  a = 0.078525 (G)

Feed G into D:
       0.9109 = 7a - 2b
    => 0.9109 = 0.549675 - 2b (substitute a)
    => 0.361225 = -2b (subtract 0.549675 from both sides)
    => -0.1806125 = b (divide both sides by -2) (H)

Feed H/G into A:
       -44.3940 = 50a + 37b + c
    => -44.3940 = 3.92625 - 6.6826625 + c (substitute a/b)
    => -41.6375875 = c (subtract 3.92625 - 6.6826625 from both sides)

لذلك ينتهي بك الأمر بـ:

a =   0.0785250
b =  -0.1806125
c = -41.6375875

إذا قمت بتوصيل هذه القيم مرة أخرى إلى A و B و C ، فستجد أنها صحيحة.

الحيلة هي استخدام مصفوفة 4 × 3 البسيطة والتي تقلل بدورها إلى مصفوفة 3 × 2 ، ثم 2 × 1 والتي هي "a = n" ، ن كونها رقمًا فعليًا. بمجرد حصولك على ذلك ، يمكنك إدخاله في المصفوفة التالية للحصول على قيمة أخرى ، ثم هاتين القيمتين في المصفوفة التالية لأعلى حتى تحل جميع المتغيرات.

شريطة أن يكون لديك N معادلات مميزة ، يمكنك دائمًا حل المتغيرات N. أنا أقول متميز لأن هذين ليسا:

 7a + 2b =  50
14a + 4b = 100

إنها نفس المعادلة مضروبة في اثنتين ، لذا لا يمكنك الحصول على حل منها - ضرب الأول في اثنين ثم طرحك مع العبارة الحقيقية ولكن غير المجدية:

0 = 0 + 0

على سبيل المثال ، إليك بعض التعليمات البرمجية C التي تعمل على المعادلات المتزامنة التي وضعت في سؤالك. أولاً ، بعض الأنواع والمتغيرات الضرورية ووظيفة الدعم لطباعة المعادلة وبداية main :

#include <stdio.h>

typedef struct { double r, a, b, c; } tEquation;
tEquation equ1[] = {
    { -44.3940,  50, 37, 1 },      // -44.3940 = 50a + 37b + c (A)
    { -45.3049,  43, 39, 1 },      // -45.3049 = 43a + 39b + c (B)
    { -44.9594,  52, 41, 1 },      // -44.9594 = 52a + 41b + c (C)
};
tEquation equ2[2], equ3[1];

static void dumpEqu (char *desc, tEquation *e, char *post) {
    printf ("%10s: %12.8lf = %12.8lfa + %12.8lfb + %12.8lfc (%s)\n",
        desc, e->r, e->a, e->b, e->c, post);
}

int main (void) {
    double a, b, c;

بعد ذلك ، اختزل المعادلات الثلاث مع ثلاثة مجهولين إلى معادلتين مع مجهولين:

    // First step, populate equ2 based on removing c from equ.

    dumpEqu (">", &(equ1[0]), "A");
    dumpEqu (">", &(equ1[1]), "B");
    dumpEqu (">", &(equ1[2]), "C");
    puts ("");

    // A - B
    equ2[0].r = equ1[0].r * equ1[1].c - equ1[1].r * equ1[0].c;
    equ2[0].a = equ1[0].a * equ1[1].c - equ1[1].a * equ1[0].c;
    equ2[0].b = equ1[0].b * equ1[1].c - equ1[1].b * equ1[0].c;
    equ2[0].c = 0;

    // B - C
    equ2[1].r = equ1[1].r * equ1[2].c - equ1[2].r * equ1[1].c;
    equ2[1].a = equ1[1].a * equ1[2].c - equ1[2].a * equ1[1].c;
    equ2[1].b = equ1[1].b * equ1[2].c - equ1[2].b * equ1[1].c;
    equ2[1].c = 0;

    dumpEqu ("A-B", &(equ2[0]), "D");
    dumpEqu ("B-C", &(equ2[1]), "E");
    puts ("");

بعد ذلك ، اختزال المعادلتين مع مجهولين لمعادلة واحدة مع واحدة غير معروفة:

    // Next step, populate equ3 based on removing b from equ2.

    // D - E
    equ3[0].r = equ2[0].r * equ2[1].b - equ2[1].r * equ2[0].b;
    equ3[0].a = equ2[0].a * equ2[1].b - equ2[1].a * equ2[0].b;
    equ3[0].b = 0;
    equ3[0].c = 0;

    dumpEqu ("D-E", &(equ3[0]), "F");
    puts ("");

الآن بعد أن لدينا صيغة للنوع number1 = unknown * number2 ، يمكننا ببساطة اكتشاف القيمة unknown <- number1 / number2 مع unknown <- number1 / number2 . بعد ذلك ، بمجرد معرفة هذه القيمة ، استبدلها في واحدة من المعادلات بمجهولين واكتشف القيمة الثانية. ثم استبدل كلا المجهولين (المعروفين الآن) في واحدة من المعادلات الأصلية ولديك الآن قيم المجهول الثلاثة:

    // Finally, substitute values back into equations.

    a = equ3[0].r / equ3[0].a;
    printf ("From (F    ), a = %12.8lf (G)\n", a);

    b = (equ2[0].r - equ2[0].a * a) / equ2[0].b;
    printf ("From (D,G  ), b = %12.8lf (H)\n", b);

    c = (equ1[0].r - equ1[0].a * a - equ1[0].b * b) / equ1[0].c;
    printf ("From (A,G,H), c = %12.8lf (I)\n", c);

    return 0;
}

يتطابق إخراج هذا الرمز مع الحسابات السابقة في هذه الإجابة:

         >: -44.39400000 =  50.00000000a +  37.00000000b +   1.00000000c (A)
         >: -45.30490000 =  43.00000000a +  39.00000000b +   1.00000000c (B)
         >: -44.95940000 =  52.00000000a +  41.00000000b +   1.00000000c (C)

       A-B:   0.91090000 =   7.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (D)
       B-C:  -0.34550000 =  -9.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (E)

       D-E:  -2.51280000 = -32.00000000a +   0.00000000b +   0.00000000c (F)

From (F    ), a =   0.07852500 (G)
From (D,G  ), b =  -0.18061250 (H)
From (A,G,H), c = -41.63758750 (I)

قاعدة كريمر والقضاء الغوسي هما خوارزمتان جيدتان للأغراض العامة (انظر أيضًا المعادلات الخطية المتزامنة ). إذا كنت تبحث عن كود ، تحقق من GiNaC و Maxima و SymbolicC++ (حسب متطلبات الترخيص الخاصة بك ، بالطبع).

تحرير: أعلم أنك تعمل في أرض C ، لكن علي أيضًا أن SymPy عن كلمة SymPy (نظام جبر كمبيوتر في Python). يمكنك أن تتعلم الكثير من خوارزمياتها (إذا كنت تستطيع قراءة القليل من الثعبان). أيضا ، تحت رخصة BSD الجديدة ، في حين أن معظم حزم الرياضيات المجانية هي GPL.


function x = LinSolve(A,y)
%
% Recursive Solution of Linear System Ax=y
% matlab equivalent: x = A\y 
% x = n x 1
% A = n x n
% y = n x 1
% Uses stack space extensively. Not efficient.
% C allows recursion, so convert it into C. 
% ----------------------------------------------
n=length(y);
x=zeros(n,1);
if(n>1)
    x(1:n-1,1) = LinSolve( A(1:n-1,1:n-1) - (A(1:n-1,n)*A(n,1:n-1))./A(n,n) , ...
                           y(1:n-1,1) - A(1:n-1,n).*(y(n,1)/A(n,n))); 
    x(n,1) = (y(n,1) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1))./A(n,n); 
else
    x = y(1,1) / A(1,1);
end




linear-equation