performance - valor - pi al cuadrado




¿Cuál es la forma más rápida de obtener el valor de π? (16)

Calcular PI en tiempo de compilación con D.

(Copiado de DSource.org )

/** Calculate pi at compile time
 *
 * Compile with dmd -c pi.d
 */
module calcpi;

import meta.math;
import meta.conv;

/** real evaluateSeries!(real x, real metafunction!(real y, int n) term)
 *
 * Evaluate a power series at compile time.
 *
 * Given a metafunction of the form
 *  real term!(real y, int n),
 * which gives the nth term of a convergent series at the point y
 * (where the first term is n==1), and a real number x,
 * this metafunction calculates the infinite sum at the point x
 * by adding terms until the sum doesn't change any more.
 */
template evaluateSeries(real x, alias term, int n=1, real sumsofar=0.0)
{
  static if (n>1 && sumsofar == sumsofar + term!(x, n+1)) {
     const real evaluateSeries = sumsofar;
  } else {
     const real evaluateSeries = evaluateSeries!(x, term, n+1, sumsofar + term!(x, n));
  }
}

/*** Calculate atan(x) at compile time.
 *
 * Uses the Maclaurin formula
 *  atan(z) = z - z^3/3 + Z^5/5 - Z^7/7 + ...
 */
template atan(real z)
{
    const real atan = evaluateSeries!(z, atanTerm);
}

template atanTerm(real x, int n)
{
    const real atanTerm =  (n & 1 ? 1 : -1) * pow!(x, 2*n-1)/(2*n-1);
}

/// Machin's formula for pi
/// pi/4 = 4 atan(1/5) - atan(1/239).
pragma(msg, "PI = " ~ fcvt!(4.0 * (4*atan!(1/5.0) - atan!(1/239.0))) );

Estoy buscando la manera más rápida de obtener el valor de π, como un desafío personal. Más específicamente, estoy usando formas que no involucran el uso de constantes #define como M_PI , o la codificación del número.

El siguiente programa prueba las diversas formas que conozco. La versión de ensamblaje en línea es, en teoría, la opción más rápida, aunque claramente no es portátil. Lo he incluido como una línea de base para comparar con las otras versiones. En mis pruebas, con incorporaciones, la versión 4 * atan(1) es la más rápida en GCC 4.2, ya que dobla automáticamente el atan(1) en una constante. Con -fno-builtin especificado, la atan2(0, -1) es la más rápida.

Aquí está el programa principal de pruebas ( pitimes.c ):

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>

#define ITERS 10000000
#define TESTWITH(x) {                                                       \
    diff = 0.0;                                                             \
    time1 = clock();                                                        \
    for (i = 0; i < ITERS; ++i)                                             \
        diff += (x) - M_PI;                                                 \
    time2 = clock();                                                        \
    printf("%s\t=> %e, time => %f\n", #x, diff, diffclock(time2, time1));   \
}

static inline double
diffclock(clock_t time1, clock_t time0)
{
    return (double) (time1 - time0) / CLOCKS_PER_SEC;
}

int
main()
{
    int i;
    clock_t time1, time2;
    double diff;

    /* Warmup. The atan2 case catches GCC's atan folding (which would
     * optimise the ``4 * atan(1) - M_PI'' to a no-op), if -fno-builtin
     * is not used. */
    TESTWITH(4 * atan(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))

#if defined(__GNUC__) && (defined(__i386__) || defined(__amd64__))
    extern double fldpi();
    TESTWITH(fldpi())
#endif

    /* Actual tests start here. */
    TESTWITH(atan2(0, -1))
    TESTWITH(acos(-1))
    TESTWITH(2 * asin(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))
    TESTWITH(4 * atan(1))

    return 0;
}

Y el material de ensamblaje en línea ( fldpi.c ) que solo funcionará para sistemas x86 y x64:

double
fldpi()
{
    double pi;
    asm("fldpi" : "=t" (pi));
    return pi;
}

Y un script de compilación que construye todas las configuraciones que estoy probando ( build.sh ):

#!/bin/sh
gcc -O3 -Wall -c           -m32 -o fldpi-32.o fldpi.c
gcc -O3 -Wall -c           -m64 -o fldpi-64.o fldpi.c

gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m32 -o pitimes1-32 pitimes.c fldpi-32.o
gcc -O3 -Wall              -m32 -o pitimes2-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m32 -o pitimes3-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m64 -o pitimes1-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall              -m64 -o pitimes2-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m64 -o pitimes3-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm

Además de probar entre varias marcas de compilación (también he comparado 32 bits con 64 bits porque las optimizaciones son diferentes), también he intentado cambiar el orden de las pruebas. Pero aún así, la atan2(0, -1) todavía sale a la cabeza cada vez.


Mejor enfoque

Para obtener la salida de constantes estándar como pi o los conceptos estándar, primero debemos utilizar los métodos incorporados disponibles en el idioma que está utilizando. Devolverá valor de la manera más rápida y mejor también. Estoy usando python para obtener la forma más rápida de obtener el valor pi

  • Pi variable de la biblioteca matemática . Biblioteca de matemáticas almacena la variable pi como constante.

math_pi.py

import math
print math.pi

Ejecute el script con la utilidad de tiempo de linux /usr/bin/time -v python math_pi.py

Salida:

Command being timed: "python math_pi.py"
User time (seconds): 0.01
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 91%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03
  • Usa el método de matemáticas de cos cos

acos_pi.py

import math
print math.acos(-1)

Ejecute el script con la utilidad de tiempo de linux /usr/bin/time -v python acos_pi.py

Salida:

Command being timed: "python acos_pi.py"
User time (seconds): 0.02
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 94%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03

bbp_pi.py

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec=100
print sum(1/Decimal(16)**k * 
          (Decimal(4)/(8*k+1) - 
           Decimal(2)/(8*k+4) - 
           Decimal(1)/(8*k+5) -
           Decimal(1)/(8*k+6)) for k in range(100))

Ejecutar el script con la utilidad de tiempo de linux. /usr/bin/time -v python bbp_pi.py

Salida:

Command being timed: "python c.py"
User time (seconds): 0.05
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 98%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.06

Así que la mejor manera es usar el método incorporado provisto por el lenguaje porque son los más rápidos y mejores para obtener la salida. En python usa math.pi


Acabo de encontrar este que debería estar aquí para estar completo:

calcular PI en Piet

Tiene la propiedad bastante agradable de que la precisión puede mejorarse haciendo que el programa sea más grande.

Here hay una idea del lenguaje en sí.


Aquí hay una descripción general de una técnica para calcular pi que aprendí en la escuela secundaria.

Solo comparto esto porque creo que es lo suficientemente simple como para que cualquiera pueda recordarlo, por tiempo indefinido, además de que te enseña el concepto de los métodos "Monte-Carlo", que son métodos estadísticos para llegar a respuestas que no parecen ser inmediatamente. deducible a través de procesos aleatorios.

Dibuja un cuadrado e inscribe un cuadrante (un cuarto de un semicírculo) dentro de ese cuadrado (un cuadrante con un radio igual al lado del cuadrado, para que llene la mayor cantidad posible del cuadrado)

Ahora lance un dardo a la plaza y registre dónde aterriza, es decir, elija un punto aleatorio en cualquier lugar dentro de la plaza. Por supuesto, aterrizó dentro de la plaza, pero ¿está dentro del semicírculo? Registrar este hecho.

Repita este proceso muchas veces, y encontrará que hay una proporción del número de puntos dentro del semicírculo en comparación con el número total arrojado, llame a esta proporción x.

Como el área del cuadrado es r veces r, puede deducir que el área del semicírculo es x veces r veces r (es decir, x veces r al cuadrado). Por lo tanto, x 4 veces te dará pi.

Este no es un método rápido de usar. Pero es un buen ejemplo de un método de Monte Carlo. Y si mira a su alrededor, puede encontrar que muchos de los problemas fuera de sus habilidades de cómputo pueden resolverse con tales métodos.


Con dobles:

4.0 * (4.0 * Math.Atan(0.2) - Math.Atan(1.0 / 239.0))

Esto tendrá una precisión de hasta 14 decimales, suficiente para llenar un doble (la imprecisión probablemente se deba a que el resto de los decimales en las tangentes de arco están truncados).

También Seth, es 3.14159265358979323846 3 , no 64.


El método de Monte Carlo , como se mencionó, aplica algunos conceptos geniales, pero es claro que no es el más rápido, ni mucho menos, ni mucho menos. Además, todo depende de qué tipo de precisión está buscando. El π más rápido que conozco es el que tiene los dígitos codificados. En cuanto a Pi y Pi[PDF] , hay muchas fórmulas.

Aquí hay un método que converge rápidamente: aproximadamente 14 dígitos por iteración. PiFast , la aplicación más rápida actual, utiliza esta fórmula con la FFT. Solo escribiré la fórmula, ya que el código es sencillo. Esta fórmula fue casi encontrada por Ramanujan y descubierta por Chudnovsky . En realidad, es cómo calculó varios miles de millones de dígitos del número, por lo que no es un método para ignorar. La fórmula se desbordará rápidamente y, dado que estamos dividiendo los factoriales, sería ventajoso entonces retrasar dichos cálculos para eliminar términos.

dónde,

A continuación se muestra el algoritmo de Brent-Salamin . Wikipedia menciona que cuando a y b están "lo suficientemente cerca", entonces (a + b) ² / 4t será una aproximación de π. No estoy seguro de lo que significa "lo suficientemente cerca", pero en mis pruebas, una iteración obtuvo 2 dígitos, dos obtuvieron 7 y tres tuvieron 15; por supuesto, esto es con dobles, por lo que podría tener un error basado en su representación y El verdadero cálculo podría ser más preciso.

let pi_2 iters =
    let rec loop_ a b t p i =
        if i = 0 then a,b,t,p
        else
            let a_n = (a +. b) /. 2.0 
            and b_n = sqrt (a*.b)
            and p_n = 2.0 *. p in
            let t_n = t -. (p *. (a -. a_n) *. (a -. a_n)) in
            loop_ a_n b_n t_n p_n (i - 1)
    in 
    let a,b,t,p = loop_ (1.0) (1.0 /. (sqrt 2.0)) (1.0/.4.0) (1.0) iters in
    (a +. b) *. (a +. b) /. (4.0 *. t)

Por último, ¿qué tal un poco de golf pi (800 dígitos)? 160 caracteres!

int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

En aras de la integridad, una versión de plantilla de C ++, que, para una compilación optimizada, calculará una aproximación de PI en el momento de la compilación, y se alineará con un solo valor.

#include <iostream>

template<int I>
struct sign
{
    enum {value = (I % 2) == 0 ? 1 : -1};
};

template<int I, int J>
struct pi_calc
{
    inline static double value ()
    {
        return (pi_calc<I-1, J>::value () + pi_calc<I-1, J+1>::value ()) / 2.0;
    }
};

template<int J>
struct pi_calc<0, J>
{
    inline static double value ()
    {
        return (sign<J>::value * 4.0) / (2.0 * J + 1.0) + pi_calc<0, J-1>::value ();
    }
};


template<>
struct pi_calc<0, 0>
{
    inline static double value ()
    {
        return 4.0;
    }
};

template<int I>
struct pi
{
    inline static double value ()
    {
        return pi_calc<I, I>::value ();
    }
};

int main ()
{
    std::cout.precision (12);

    const double pi_value = pi<10>::value ();

    std::cout << "pi ~ " << pi_value << std::endl;

    return 0;
}

Nota para I> 10, las compilaciones optimizadas pueden ser lentas, al igual que para ejecuciones no optimizadas. Para 12 iteraciones creo que hay alrededor de 80k llamadas a value () (en ausencia de memoisation).


En los viejos tiempos, con tamaños de palabra pequeños y operaciones de punto flotante lentas o inexistentes, solíamos hacer cosas como esta:

/* Return approximation of n * PI; n is integer */
#define pi_times(n) (((n) * 22) / 7)

Para las aplicaciones que no requieren mucha precisión (los videojuegos, por ejemplo), esto es muy rápido y lo suficientemente preciso.


En realidad, hay un libro completo dedicado (entre otras cosas) a métodos rápidos para el cálculo de \ pi: 'Pi and the AGM', de Jonathan y Peter Borwein ( disponible en Amazon ).

Estudié la AGM y los algoritmos relacionados bastante: es bastante interesante (aunque a veces no es trivial).

Tenga en cuenta que para implementar la mayoría de los algoritmos modernos para calcular \ pi, necesitará una biblioteca aritmética de multiprecisión ( GMP es una buena elección, aunque ha pasado un tiempo desde la última vez que lo usé).

La complejidad temporal de los mejores algoritmos se encuentra en O (M (n) log (n)), donde M (n) es la complejidad temporal para la multiplicación de dos enteros de n bits (M (n) = O (n log (n) log (log (n))) usando algoritmos basados ​​en FFT, que generalmente son necesarios cuando se calculan los dígitos de \ pi, y tal algoritmo se implementa en GMP).

Tenga en cuenta que aunque las matemáticas detrás de los algoritmos pueden no ser triviales, los algoritmos en sí mismos suelen ser unas pocas líneas de pseudocódigo, y su implementación suele ser muy sencilla (si elige no escribir su propia aritmética multiprecisión :-)).


Esta versión (en Delphi) no es nada especial, pero es al menos más rápida que la versión que Nick Hodge publicó en su blog :). En mi máquina, toma aproximadamente 16 segundos hacer mil millones de iteraciones, lo que da un valor de 3.14159265 25879 (la parte precisa está en negrita).

program calcpi;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses
  SysUtils;

var
  start, finish: TDateTime;

function CalculatePi(iterations: integer): double;
var
  numerator, denominator, i: integer;
  sum: double;
begin
  {
  PI may be approximated with this formula:
  4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 .......)
  //}
  numerator := 1;
  denominator := 1;
  sum := 0;
  for i := 1 to iterations do begin
    sum := sum + (numerator/denominator);
    denominator := denominator + 2;
    numerator := -numerator;
  end;
  Result := 4 * sum;
end;

begin
  try
    start := Now;
    WriteLn(FloatToStr(CalculatePi(StrToInt(ParamStr(1)))));
    finish := Now;
    WriteLn('Seconds:' + FormatDateTime('hh:mm:ss.zz',finish-start));
  except
    on E:Exception do
      Writeln(E.Classname, ': ', E.Message);
  end;
end.

La fórmula BBP le permite calcular el enésimo dígito, en la base 2 (o 16), sin tener que molestarse siquiera con los dígitos n-1 anteriores primero :)


Las siguientes respuestas son precisamente cómo hacerlo de la manera más rápida posible, con el menor esfuerzo informático . Incluso si no te gusta la respuesta, debes admitir que es la manera más rápida de obtener el valor de PI.

La forma MÁS RÁPIDA de obtener el valor de Pi es:

1) eligió su lenguaje de programación favorito 2) cargue su biblioteca de Matemáticas 3) y descubra que Pi ya está definido allí, listo para usar!

En caso de que no tengas una biblioteca de matemáticas a mano ...

La SEGUNDA forma MÁS RÁPIDA (solución más universal) es:

busque Pi en Internet, por ejemplo aquí:

http://www.eveandersson.com/pi/digits/1000000 (1 millón de dígitos ... ¿cuál es su precisión de punto flotante?)

o aquí:

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/

o aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Pi

Es muy rápido encontrar los dígitos que necesita para cualquier aritmética de precisión que le gustaría usar, y al definir una constante, puede asegurarse de no perder el valioso tiempo de CPU.

Esta no solo es una respuesta en parte humorística, sino que, en realidad, si alguien sigue adelante y calcula el valor de Pi en una aplicación real ... eso sería una gran pérdida de tiempo de CPU, ¿no es así? Al menos no veo una aplicación real para tratar de volver a calcular esto.

Estimado moderador: tenga en cuenta que el OP preguntó: "La forma más rápida de obtener el valor de PI"



Si desea calcular una aproximación del valor de π (por alguna razón), debe probar un algoritmo de extracción binario. La mejora de Bellard de BBP da PI en O (N ^ 2).

Si desea obtener una aproximación del valor de π para hacer cálculos, entonces:

PI = 3.141592654

Por supuesto, eso es sólo una aproximación, y no del todo precisa. Está apagado por un poco más de 0.00000000004102. (cuatro diez trillones, alrededor de 4 / 10,000,000,000 ).

Si quieres hacer matemáticas con π, entonces consigue un lápiz y papel o un paquete de álgebra computacional, y usa el valor exacto de π, π.

Si realmente quieres una fórmula, esta es divertida:

π = - i ln (-1)


Si por más rápido quiere decir que es más rápido escribir el código, aquí está la solución de golfscript :

;''6666,-2%{2+.2/@*\/10.3??2*+}*`1000<~\;

Usa la fórmula de Machin-like

176 * arctan (1/57) + 28 * arctan (1/239) - 48 * arctan (1/682) + 96 * arctan(1/12943) 

[; \left( 176 \arctan \frac{1}{57} + 28 \arctan \frac{1}{239} - 48 \arctan \frac{1}{682} + 96 \arctan \frac{1}{12943}\right) ;], for you TeX the World people.

Implementado en Esquema, por ejemplo:

(+ (- (+ (* 176 (atan (/ 1 57))) (* 28 (atan (/ 1 239)))) (* 48 (atan (/ 1 682)))) (* 96 (atan (/ 1 12943))))





pi