c++ - फ्लोट और डबल तुलना के लिए सबसे प्रभावी तरीका क्या है?




algorithm optimization (17)

दो double या दो float मानों की तुलना करने का सबसे प्रभावी तरीका क्या होगा?

बस यह सही नहीं है:

bool CompareDoubles1 (double A, double B)
{
   return A == B;
}

लेकिन कुछ ऐसा है:

bool CompareDoubles2 (double A, double B) 
{
   diff = A - B;
   return (diff < EPSILON) && (-diff < EPSILON);
}

प्रसंस्करण अपशिष्ट लगता है।

क्या किसी को एक स्मार्ट फ्लोट तुलनाकर्ता पता है?


`वापसी fabs (ए - बी) <EPSILON;

यह ठीक है अगर:

  • आपके इनपुट की परिमाण का क्रम ज्यादा नहीं बदलता है
  • विपरीत संकेतों की बहुत छोटी संख्या बराबर के रूप में माना जा सकता है

लेकिन अन्यथा यह आपको परेशानी में ले जाएगा। डबल परिशुद्धता संख्याओं में लगभग 16 दशमलव स्थानों का संकल्प होता है। यदि आप तुलना कर रहे दो नंबर EPSILON * 1.0E16 की तुलना में परिमाण में बड़े हैं, तो आप यह भी कह सकते हैं:

return a==b;

मैं एक अलग दृष्टिकोण की जांच करूंगा जो मानता है कि आपको पहले मुद्दे के बारे में चिंता करने की ज़रूरत है और मान लें कि दूसरा आपका आवेदन ठीक है। एक समाधान कुछ ऐसा होगा:

#define VERYSMALL  (1.0E-150)
#define EPSILON    (1.0E-8)
bool AreSame(double a, double b)
{
    double absDiff = fabs(a - b);
    if (absDiff < VERYSMALL)
    {
        return true;
    }

    double maxAbs  = max(fabs(a) - fabs(b));
    return (absDiff/maxAbs) < EPSILON;
}

यह महंगा कम्प्यूटेशनल है, लेकिन कभी-कभी इसे जिसे कहा जाता है। यही वह है जो हमें अपनी कंपनी में करना है क्योंकि हम इंजीनियरिंग लाइब्रेरी से निपटते हैं और इनपुट परिमाण के कुछ दर्जन आदेशों से भिन्न हो सकते हैं।

वैसे भी, यह मुद्दा है (और व्यावहारिक रूप से प्रत्येक प्रोग्रामिंग समस्या पर लागू होता है): अपनी आवश्यकताओं के मूल्यांकन का मूल्यांकन करें, फिर अपनी जरूरतों को पूरा करने के लिए एक समाधान के साथ आओ - मान लें कि आसान जवाब आपकी आवश्यकताओं को पूरा करेगा। यदि आपके मूल्यांकन के बाद आप पाते हैं कि fabs(ab) < EPSILON पर्याप्त होगा, सही - इसका उपयोग करें! लेकिन इसकी कमियों और अन्य संभावित समाधानों से भी अवगत रहें।


आपके द्वारा लिखे गए कोड को गड़बड़ कर दिया गया है:

return (diff < EPSILON) && (-diff > EPSILON);

सही कोड होगा:

return (diff < EPSILON) && (diff > -EPSILON);

(... और हाँ यह अलग है)

मुझे आश्चर्य है कि क्या फैब्स आपको किसी मामले में आलसी मूल्यांकन खोने नहीं देगा। मैं कहूंगा कि यह संकलक पर निर्भर करता है। आप दोनों को आजमा सकते हैं। यदि वे औसत के बराबर हैं, तो fabs के साथ कार्यान्वयन करें।

यदि आपके पास कुछ जानकारी है कि दोनों फ्लोट में से दूसरे की तुलना में अधिक होने की संभावना अधिक है, तो आप आलसी मूल्यांकन का बेहतर लाभ लेने के लिए तुलना के क्रम पर खेल सकते हैं।

अंत में आप इस समारोह को रेखांकित करके बेहतर परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि काफी सुधार करने की संभावना नहीं है ...

संपादित करें: ओजे, आपके कोड को सही करने के लिए धन्यवाद। मैंने तदनुसार मेरी टिप्पणी मिटा दी


किसी अन्य सुझाव का उपयोग करके बेहद सावधान रहें। यह सब संदर्भ पर निर्भर करता है।

मैंने एक सिस्टम में एक बग का पता लगाने में काफी समय बिताया है जो a==b अगर |ab|<epsilon । अंतर्निहित समस्याएं थीं:

  1. एक एल्गोरिदम में अंतर्निहित धारणा है कि यदि a==b और b==c तो a==c

  2. मिलों (.001 इंच) में मापा इंच और रेखाओं में मापा लाइनों के लिए एक ही ईपीएसलॉन का उपयोग करना। वह a==b लेकिन 1000a!=1000b । (यही कारण है कि AlmostEqual2scomplement epsilon या अधिकतम ULPS के लिए पूछता है)।

  3. कोणों के कोसाइन और रेखाओं की लंबाई दोनों के लिए एक ही ईपीएसलॉन का उपयोग!

  4. संग्रह में वस्तुओं को सॉर्ट करने के लिए इस तरह की तुलना फ़ंक्शन का उपयोग करना। (इस मामले में बिल्टिन सी ++ ऑपरेटर == का उपयोग करके युगल के सही परिणामों का उत्पादन किया गया।)

जैसे मैंने कहा: यह सब संदर्भ और a और b के अपेक्षित आकार पर निर्भर करता है।

बीटीडब्ल्यू, std::numeric_limits<double>::epsilon() "मशीन ईपीएसलॉन" है। यह 1.0 और अगले मान के बीच एक अंतर से भिन्न अंतर है। मुझे लगता है कि यह तुलना फ़ंक्शन में उपयोग किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी अपेक्षित मान 1 से कम हैं (यह @ सीडीवी के उत्तर के जवाब में है ...)

इसके अलावा, यदि आप मूल रूप से doubles में int अंकगणित हैं (यहां हम कुछ मामलों में int मान रखने के लिए युगल का उपयोग करते हैं) तो आपका अंकगणित सही होगा। उदाहरण के लिए 4.0 / 2.0 1.0 + 1.0 के समान होगा। यह तब तक होता है जब आप उन चीजों को नहीं करते हैं जो परिणामस्वरूप (4.0 / 3.0) होते हैं या किसी int के आकार के बाहर नहीं जाते हैं।


गहराई से दृष्टिकोण में पढ़ने के लिए cygnus-software.com/papers/comparingfloats/comparingfloats.htm । उस लिंक से कोड स्निपेट यहां दिया गया है:

// Usable AlmostEqual function    
bool AlmostEqual2sComplement(float A, float B, int maxUlps)    
{    
    // Make sure maxUlps is non-negative and small enough that the    
    // default NAN won't compare as equal to anything.    
    assert(maxUlps > 0 && maxUlps < 4 * 1024 * 1024);    
    int aInt = *(int*)&A;    
    // Make aInt lexicographically ordered as a twos-complement int    
    if (aInt < 0)    
        aInt = 0x80000000 - aInt;    
    // Make bInt lexicographically ordered as a twos-complement int    
    int bInt = *(int*)&B;    
    if (bInt < 0)    
        bInt = 0x80000000 - bInt;    
    int intDiff = abs(aInt - bInt);    
    if (intDiff <= maxUlps)    
        return true;    
    return false;    
}

मैं इस महान धागे में सामग्री के माध्यम से कुछ समय बिताया। मुझे संदेह है कि हर कोई इतना समय बिताना चाहता है, इसलिए मैंने जो कुछ सीखा और उसके द्वारा लागू समाधान के सारांश को हाइलाइट किया।

त्वरित सारांश

  1. फ्लोट तुलना के साथ दो समस्याएं हैं: आपके पास सीमित सटीकता है और "लगभग शून्य" का अर्थ संदर्भ पर निर्भर करता है (अगला बिंदु देखें)।
  2. 1E-8 लगभग 1E-16 जैसा ही है? यदि आप शोर सेंसर डेटा देख रहे हैं तो शायद हां, लेकिन यदि आप आणविक सिमुलेशन कर रहे हैं तो हो सकता है! निचली पंक्ति: आपको हमेशा विशिष्ट फ़ंक्शन कॉल के संदर्भ में सहिष्णुता मूल्य के बारे में सोचने की आवश्यकता होती है और न केवल इसे सामान्य ऐप-व्यापी हार्ड-कोडेड स्थिर बनाते हैं।
  3. सामान्य लाइब्रेरी फ़ंक्शंस के लिए, डिफ़ॉल्ट सहिष्णुता के साथ पैरामीटर होना अभी भी अच्छा है। एक ठेठ पसंद numeric_limits::epsilon() जो flat.h में FLT_EPSILON के समान है। हालांकि यह समस्याग्रस्त है क्योंकि 1.0 जैसे मानों की तुलना करने के लिए ईपीएसलॉन 1 ई 9 जैसे मानों के लिए ईपीएसलॉन के समान नहीं है। FLT_EPSILON 1.0 के लिए परिभाषित किया गया है।
  4. यह जांचने के लिए स्पष्ट कार्यान्वयन है कि संख्या सहिष्णुता के भीतर है या नहीं, fabs(ab) <= epsilon हालांकि यह काम नहीं करता है क्योंकि डिफ़ॉल्ट ईपीएसलॉन 1.0 के लिए परिभाषित किया गया है। हमें ए और बी के मामले में ईपीएसलॉन को ऊपर या नीचे स्केल करने की आवश्यकता है।
  5. इस समस्या के दो समाधान हैं: या तो आप max(a,b) आनुपातिक ईपीएसलॉन सेट करते हैं या आप चारों ओर अगली प्रतिनिधित्व योग्य संख्याएं प्राप्त कर सकते हैं और फिर देख सकते हैं कि बी उस सीमा में गिरता है या नहीं। पूर्व को "रिश्तेदार" विधि कहा जाता है और बाद में इसे यूएलपी विधि कहा जाता है।
  6. 0 के साथ तुलना करते समय दोनों विधियां वास्तव में विफल हो जाती हैं। इस मामले में, आवेदन को सही सहनशीलता प्रदान करनी चाहिए।

उपयोगिता कार्य कार्यान्वयन (सी ++ 11)

//implements relative method - do not use for comparing with zero
//use this most of the time, tolerance needs to be meaningful in your context
template<typename TReal>
static bool isApproximatelyEqual(TReal a, TReal b, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
    TReal diff = std::fabs(a - b);
    if (diff <= tolerance)
        return true;

    if (diff < std::fmax(std::fabs(a), std::fabs(b)) * tolerance)
        return true;

    return false;
}

//supply tolerance that is meaningful in your context
//for example, default tolerance may not work if you are comparing double with float
template<typename TReal>
static bool isApproximatelyZero(TReal a, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
    if (std::fabs(a) <= tolerance)
        return true;
    return false;
}


//use this when you want to be on safe side
//for example, don't start rover unless signal is above 1
template<typename TReal>
static bool isDefinitelyLessThan(TReal a, TReal b, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
    TReal diff = a - b;
    if (diff < tolerance)
        return true;

    if (diff < std::fmax(std::fabs(a), std::fabs(b)) * tolerance)
        return true;

    return false;
}
template<typename TReal>
static bool isDefinitelyGreaterThan(TReal a, TReal b, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
    TReal diff = a - b;
    if (diff > tolerance)
        return true;

    if (diff > std::fmax(std::fabs(a), std::fabs(b)) * tolerance)
        return true;

    return false;
}

//implements ULP method
//use this when you are only concerned about floating point precision issue
//for example, if you want to see if a is 1.0 by checking if its within
//10 closest representable floating point numbers around 1.0.
template<typename TReal>
static bool isWithinPrecisionInterval(TReal a, TReal b, unsigned int interval_size = 1)
{
    TReal min_a = a - (a - std::nextafter(a, std::numeric_limits<TReal>::lowest())) * interval_size;
    TReal max_a = a + (std::nextafter(a, std::numeric_limits<TReal>::max()) - a) * interval_size;

    return min_a <= b && max_a >= b;
}

मैंने पाया कि Google C ++ परीक्षण फ्रेमवर्क में AlmostEqual2sComplement का एक अच्छा क्रॉस-प्लेटफार्म टेम्पलेट-आधारित कार्यान्वयन शामिल है जो युगल और फ्लोट दोनों पर काम करता है। यह देखते हुए कि यह बीएसडी लाइसेंस के तहत जारी किया गया है, इसे अपने कोड में इस्तेमाल करने से कोई समस्या नहीं होनी चाहिए, जब तक कि आप लाइसेंस बनाए रखें। मैंने नीचे दिए गए कोड को http://code.google.com/p/googletest/source/browse/trunk/include/gtest/internal/gtest-internal.h से निकाला और शीर्ष पर लाइसेंस जोड़ा।

कुछ मूल्यों के लिए GTEST_OS_WINDOWS को परिभाषित करना सुनिश्चित करें (या कोड को बदलने के लिए जहां यह आपके कोडबेस को फिट करने वाली किसी चीज़ के लिए उपयोग किया जाता है - यह बीएसडी सभी के बाद लाइसेंस प्राप्त है)।

उपयोग उदाहरण:

double left  = // something
double right = // something
const FloatingPoint<double> lhs(left), rhs(right);

if (lhs.AlmostEquals(rhs)) {
  //they're equal!
}

यहां कोड है:

// Copyright 2005, Google Inc.
// All rights reserved.
//
// Redistribution and use in source and binary forms, with or without
// modification, are permitted provided that the following conditions are
// met:
//
//     * Redistributions of source code must retain the above copyright
// notice, this list of conditions and the following disclaimer.
//     * Redistributions in binary form must reproduce the above
// copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer
// in the documentation and/or other materials provided with the
// distribution.
//     * Neither the name of Google Inc. nor the names of its
// contributors may be used to endorse or promote products derived from
// this software without specific prior written permission.
//
// THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE COPYRIGHT HOLDERS AND CONTRIBUTORS
// "AS IS" AND ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT
// LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
// A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL THE COPYRIGHT
// OWNER OR CONTRIBUTORS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL,
// SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT
// LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
// DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
// THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
// (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE
// OF THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
//
// Authors: [email protected] (Zhanyong Wan), [email protected] (Sean Mcafee)
//
// The Google C++ Testing Framework (Google Test)


// This template class serves as a compile-time function from size to
// type.  It maps a size in bytes to a primitive type with that
// size. e.g.
//
//   TypeWithSize<4>::UInt
//
// is typedef-ed to be unsigned int (unsigned integer made up of 4
// bytes).
//
// Such functionality should belong to STL, but I cannot find it
// there.
//
// Google Test uses this class in the implementation of floating-point
// comparison.
//
// For now it only handles UInt (unsigned int) as that's all Google Test
// needs.  Other types can be easily added in the future if need
// arises.
template <size_t size>
class TypeWithSize {
 public:
  // This prevents the user from using TypeWithSize<N> with incorrect
  // values of N.
  typedef void UInt;
};

// The specialization for size 4.
template <>
class TypeWithSize<4> {
 public:
  // unsigned int has size 4 in both gcc and MSVC.
  //
  // As base/basictypes.h doesn't compile on Windows, we cannot use
  // uint32, uint64, and etc here.
  typedef int Int;
  typedef unsigned int UInt;
};

// The specialization for size 8.
template <>
class TypeWithSize<8> {
 public:
#if GTEST_OS_WINDOWS
  typedef __int64 Int;
  typedef unsigned __int64 UInt;
#else
  typedef long long Int;  // NOLINT
  typedef unsigned long long UInt;  // NOLINT
#endif  // GTEST_OS_WINDOWS
};


// This template class represents an IEEE floating-point number
// (either single-precision or double-precision, depending on the
// template parameters).
//
// The purpose of this class is to do more sophisticated number
// comparison.  (Due to round-off error, etc, it's very unlikely that
// two floating-points will be equal exactly.  Hence a naive
// comparison by the == operation often doesn't work.)
//
// Format of IEEE floating-point:
//
//   The most-significant bit being the leftmost, an IEEE
//   floating-point looks like
//
//     sign_bit exponent_bits fraction_bits
//
//   Here, sign_bit is a single bit that designates the sign of the
//   number.
//
//   For float, there are 8 exponent bits and 23 fraction bits.
//
//   For double, there are 11 exponent bits and 52 fraction bits.
//
//   More details can be found at
//   http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating-point_standard.
//
// Template parameter:
//
//   RawType: the raw floating-point type (either float or double)
template <typename RawType>
class FloatingPoint {
 public:
  // Defines the unsigned integer type that has the same size as the
  // floating point number.
  typedef typename TypeWithSize<sizeof(RawType)>::UInt Bits;

  // Constants.

  // # of bits in a number.
  static const size_t kBitCount = 8*sizeof(RawType);

  // # of fraction bits in a number.
  static const size_t kFractionBitCount =
    std::numeric_limits<RawType>::digits - 1;

  // # of exponent bits in a number.
  static const size_t kExponentBitCount = kBitCount - 1 - kFractionBitCount;

  // The mask for the sign bit.
  static const Bits kSignBitMask = static_cast<Bits>(1) << (kBitCount - 1);

  // The mask for the fraction bits.
  static const Bits kFractionBitMask =
    ~static_cast<Bits>(0) >> (kExponentBitCount + 1);

  // The mask for the exponent bits.
  static const Bits kExponentBitMask = ~(kSignBitMask | kFractionBitMask);

  // How many ULP's (Units in the Last Place) we want to tolerate when
  // comparing two numbers.  The larger the value, the more error we
  // allow.  A 0 value means that two numbers must be exactly the same
  // to be considered equal.
  //
  // The maximum error of a single floating-point operation is 0.5
  // units in the last place.  On Intel CPU's, all floating-point
  // calculations are done with 80-bit precision, while double has 64
  // bits.  Therefore, 4 should be enough for ordinary use.
  //
  // See the following article for more details on ULP:
  // http://www.cygnus-software.com/papers/comparingfloats/comparingfloats.htm.
  static const size_t kMaxUlps = 4;

  // Constructs a FloatingPoint from a raw floating-point number.
  //
  // On an Intel CPU, passing a non-normalized NAN (Not a Number)
  // around may change its bits, although the new value is guaranteed
  // to be also a NAN.  Therefore, don't expect this constructor to
  // preserve the bits in x when x is a NAN.
  explicit FloatingPoint(const RawType& x) { u_.value_ = x; }

  // Static methods

  // Reinterprets a bit pattern as a floating-point number.
  //
  // This function is needed to test the AlmostEquals() method.
  static RawType ReinterpretBits(const Bits bits) {
    FloatingPoint fp(0);
    fp.u_.bits_ = bits;
    return fp.u_.value_;
  }

  // Returns the floating-point number that represent positive infinity.
  static RawType Infinity() {
    return ReinterpretBits(kExponentBitMask);
  }

  // Non-static methods

  // Returns the bits that represents this number.
  const Bits &bits() const { return u_.bits_; }

  // Returns the exponent bits of this number.
  Bits exponent_bits() const { return kExponentBitMask & u_.bits_; }

  // Returns the fraction bits of this number.
  Bits fraction_bits() const { return kFractionBitMask & u_.bits_; }

  // Returns the sign bit of this number.
  Bits sign_bit() const { return kSignBitMask & u_.bits_; }

  // Returns true iff this is NAN (not a number).
  bool is_nan() const {
    // It's a NAN if the exponent bits are all ones and the fraction
    // bits are not entirely zeros.
    return (exponent_bits() == kExponentBitMask) && (fraction_bits() != 0);
  }

  // Returns true iff this number is at most kMaxUlps ULP's away from
  // rhs.  In particular, this function:
  //
  //   - returns false if either number is (or both are) NAN.
  //   - treats really large numbers as almost equal to infinity.
  //   - thinks +0.0 and -0.0 are 0 DLP's apart.
  bool AlmostEquals(const FloatingPoint& rhs) const {
    // The IEEE standard says that any comparison operation involving
    // a NAN must return false.
    if (is_nan() || rhs.is_nan()) return false;

    return DistanceBetweenSignAndMagnitudeNumbers(u_.bits_, rhs.u_.bits_)
        <= kMaxUlps;
  }

 private:
  // The data type used to store the actual floating-point number.
  union FloatingPointUnion {
    RawType value_;  // The raw floating-point number.
    Bits bits_;      // The bits that represent the number.
  };

  // Converts an integer from the sign-and-magnitude representation to
  // the biased representation.  More precisely, let N be 2 to the
  // power of (kBitCount - 1), an integer x is represented by the
  // unsigned number x + N.
  //
  // For instance,
  //
  //   -N + 1 (the most negative number representable using
  //          sign-and-magnitude) is represented by 1;
  //   0      is represented by N; and
  //   N - 1  (the biggest number representable using
  //          sign-and-magnitude) is represented by 2N - 1.
  //
  // Read http://en.wikipedia.org/wiki/Signed_number_representations
  // for more details on signed number representations.
  static Bits SignAndMagnitudeToBiased(const Bits &sam) {
    if (kSignBitMask & sam) {
      // sam represents a negative number.
      return ~sam + 1;
    } else {
      // sam represents a positive number.
      return kSignBitMask | sam;
    }
  }

  // Given two numbers in the sign-and-magnitude representation,
  // returns the distance between them as an unsigned number.
  static Bits DistanceBetweenSignAndMagnitudeNumbers(const Bits &sam1,
                                                     const Bits &sam2) {
    const Bits biased1 = SignAndMagnitudeToBiased(sam1);
    const Bits biased2 = SignAndMagnitudeToBiased(sam2);
    return (biased1 >= biased2) ? (biased1 - biased2) : (biased2 - biased1);
  }

  FloatingPointUnion u_;
};

संपादित करें: यह पोस्ट 4 साल पुराना है। यह शायद अभी भी मान्य है, और कोड अच्छा है, लेकिन कुछ लोगों को सुधार मिले। Google टेस्ट स्रोत कोड से सबसे अच्छा संस्करण AlmostEquals का नवीनतम संस्करण प्राप्त करें, और यहां तक ​​कि मैंने यहां चिपकाया नहीं है।


संदर्भ के आधार पर फ्लोटिंग पॉइंट नंबर की तुलना करना। चूंकि संचालन के क्रम को बदलने से अलग-अलग परिणाम मिल सकते हैं, यह जानना महत्वपूर्ण है कि संख्याओं को "बराबर" कैसे करना है।

ब्रूस डॉसन द्वारा फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों की तुलना करना फ़्लोटिंग पॉइंट तुलना को देखने पर शुरू करने के लिए एक अच्छी जगह है।

निम्नलिखित परिभाषाएं Knuth द्वारा कंप्यूटर प्रोग्रामिंग की कला से हैं :

bool approximatelyEqual(float a, float b, float epsilon)
{
    return fabs(a - b) <= ( (fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}

bool essentiallyEqual(float a, float b, float epsilon)
{
    return fabs(a - b) <= ( (fabs(a) > fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}

bool definitelyGreaterThan(float a, float b, float epsilon)
{
    return (a - b) > ( (fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}

bool definitelyLessThan(float a, float b, float epsilon)
{
    return (b - a) > ( (fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}

बेशक, ईपीएसलॉन का चयन संदर्भ पर निर्भर करता है, और निर्धारित करता है कि आप संख्याओं को कितना बराबर होना चाहते हैं।

फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों की तुलना करने का एक अन्य तरीका संख्याओं के यूएलपी (अंतिम स्थान पर इकाइयों) को देखना है। तुलनात्मक रूप से तुलना के साथ विशेष रूप से व्यवहार नहीं करते समय, पेपर प्रत्येक कंप्यूटर वैज्ञानिक को फ़्लोटिंग पॉइंट नंबरों के बारे में क्या पता होना चाहिए, यह समझने के लिए एक अच्छा संसाधन है कि फ्लोटिंग पॉइंट कैसे काम करता है और क्या नुकसान है, जिसमें यूएलपी भी शामिल है।


सी ++ में ईपीएसलॉन प्राप्त करने का पोर्टेबल तरीका है

#include <limits>
std::numeric_limits<double>::epsilon()

फिर तुलना समारोह बन जाता है

#include <cmath>
#include <limits>

bool AreSame(double a, double b) {
    return std::fabs(a - b) < std::numeric_limits<double>::epsilon();
}

I use this code:

bool AlmostEqual(double v1, double v2)
    {
        return (std::fabs(v1 - v2) < std::fabs(std::min(v1, v2)) * std::numeric_limits<double>::epsilon());
    }

I write this for java, but maybe you find it useful. It uses longs instead of doubles, but takes care of NaNs, subnormals, etc.

public static boolean equal(double a, double b) {
    final long fm = 0xFFFFFFFFFFFFFL;       // fraction mask
    final long sm = 0x8000000000000000L;    // sign mask
    final long cm = 0x8000000000000L;       // most significant decimal bit mask
    long c = Double.doubleToLongBits(a), d = Double.doubleToLongBits(b);        
    int ea = (int) (c >> 52 & 2047), eb = (int) (d >> 52 & 2047);
    if (ea == 2047 && (c & fm) != 0 || eb == 2047 && (d & fm) != 0) return false;   // NaN 
    if (c == d) return true;                            // identical - fast check
    if (ea == 0 && eb == 0) return true;                // ±0 or subnormals
    if ((c & sm) != (d & sm)) return false;             // different signs
    if (abs(ea - eb) > 1) return false;                 // b > 2*a or a > 2*b
    d <<= 12; c <<= 12;
    if (ea < eb) c = c >> 1 | sm;
    else if (ea > eb) d = d >> 1 | sm;
    c -= d;
    return c < 65536 && c > -65536;     // don't use abs(), because:
    // There is a posibility c=0x8000000000000000 which cannot be converted to positive
}
public static boolean zero(double a) { return (Double.doubleToLongBits(a) >> 52 & 2047) < 3; }

Keep in mind that after a number of floating-point operations, number can be very different from what we expect. There is no code to fix that.


In a more generic way:

template <typename T>
bool compareNumber(const T& a, const T& b) {
    return std::abs(a - b) < std::numeric_limits<T>::epsilon();
}

In terms of the scale of quantities:

If epsilon is the small fraction of the magnitude of quantity (ie relative value) in some certain physical sense and A and B types is comparable in the same sense, than I think, that the following is quite correct:

#include <limits>
#include <iomanip>
#include <iostream>

#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cassert>

template< typename A, typename B >
inline
bool close_enough(A const & a, B const & b,
                  typename std::common_type< A, B >::type const & epsilon)
{
    using std::isless;
    assert(isless(0, epsilon)); // epsilon is a part of the whole quantity
    assert(isless(epsilon, 1));
    using std::abs;
    auto const delta = abs(a - b);
    auto const x = abs(a);
    auto const y = abs(b);
    // comparable generally and |a - b| < eps * (|a| + |b|) / 2
    return isless(epsilon * y, x) && isless(epsilon * x, y) && isless((delta + delta) / (x + y), epsilon);
}

int main()
{
    std::cout << std::boolalpha << close_enough(0.9, 1.0, 0.1) << std::endl;
    std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.0, 1.1, 0.1) << std::endl;
    std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.1,    1.2,    0.01) << std::endl;
    std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.0001, 1.0002, 0.01) << std::endl;
    std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.0, 0.01, 0.1) << std::endl;
    return EXIT_SUCCESS;
}

My class based on previously posted answers. Very similar to Google's code but I use a bias which pushes all NaN values above 0xFF000000. That allows a faster check for NaN.

This code is meant to demonstrate the concept, not be a general solution. Google's code already shows how to compute all the platform specific values and I didn't want to duplicate all that. I've done limited testing on this code.

typedef unsigned int   U32;
//  Float           Memory          Bias (unsigned)
//  -----           ------          ---------------
//   NaN            0xFFFFFFFF      0xFF800001
//   NaN            0xFF800001      0xFFFFFFFF
//  -Infinity       0xFF800000      0x00000000 ---
//  -3.40282e+038   0xFF7FFFFF      0x00000001    |
//  -1.40130e-045   0x80000001      0x7F7FFFFF    |
//  -0.0            0x80000000      0x7F800000    |--- Valid <= 0xFF000000.
//   0.0            0x00000000      0x7F800000    |    NaN > 0xFF000000
//   1.40130e-045   0x00000001      0x7F800001    |
//   3.40282e+038   0x7F7FFFFF      0xFEFFFFFF    |
//   Infinity       0x7F800000      0xFF000000 ---
//   NaN            0x7F800001      0xFF000001
//   NaN            0x7FFFFFFF      0xFF7FFFFF
//
//   Either value of NaN returns false.
//   -Infinity and +Infinity are not "close".
//   -0 and +0 are equal.
//
class CompareFloat{
public:
    union{
        float     m_f32;
        U32       m_u32;
    };
    static bool   CompareFloat::IsClose( float A, float B, U32 unitsDelta = 4 )
                  {
                      U32    a = CompareFloat::GetBiased( A );
                      U32    b = CompareFloat::GetBiased( B );

                      if ( (a > 0xFF000000) || (b > 0xFF000000) )
                      {
                          return( false );
                      }
                      return( (static_cast<U32>(abs( a - b ))) < unitsDelta );
                  }
    protected:
    static U32    CompareFloat::GetBiased( float f )
                  {
                      U32    r = ((CompareFloat*)&f)->m_u32;

                      if ( r & 0x80000000 )
                      {
                          return( ~r - 0x007FFFFF );
                      }
                      return( r + 0x7F800000 );
                  }
};

My way may not be correct but useful

Convert both float to strings and then do string compare

bool IsFlaotEqual(float a, float b, int decimal)
{
    TCHAR form[50] = _T("");
    _stprintf(form, _T("%%.%df"), decimal);


    TCHAR a1[30] = _T(""), a2[30] = _T("");
    _stprintf(a1, form, a);
    _stprintf(a2, form, b);

    if( _tcscmp(a1, a2) == 0 )
        return true;

    return false;

}

operator overlaoding can also be done


Unfortunately, even your "wasteful" code is incorrect. EPSILON is the smallest value that could be added to 1.0 and change its value. The value 1.0 is very important — larger numbers do not change when added to EPSILON. Now, you can scale this value to the numbers you are comparing to tell whether they are different or not. The correct expression for comparing two doubles is:

if (fabs(a - b) <= DBL_EPSILON * fmax(fabs(a), fabs(b)))
{
    // ...
}

This is at a minimum. In general, though, you would want to account for noise in your calculations and ignore a few of the least significant bits, so a more realistic comparison would look like:

if (fabs(a - b) <= 16 * DBL_EPSILON * fmax(fabs(a), fabs(b)))
{
    // ...
}

If comparison performance is very important to you and you know the range of your values, then you should use fixed-point numbers instead.


Why not perform bitwise XOR? Two floating point numbers are equal if their corresponding bits are equal. I think, the decision to place the exponent bits before mantissa was made to speed up comparison of two floats. I think, many answers here are missing the point of epsilon comparison. Epsilon value only depends on to what precision floating point numbers are compared. For example, after doing some arithmetic with floats you get two numbers: 2.5642943554342 and 2.5642943554345. They are not equal, but for the solution only 3 decimal digits matter so then they are equal: 2.564 and 2.564. In this case you choose epsilon equal to 0.001. Epsilon comparison is also possible with bitwise XOR. Correct me if I am wrong.


/// testing whether two doubles are almost equal. We consider two doubles
/// equal if the difference is within the range [0, epsilon).
///
/// epsilon: a positive number (supposed to be small)
///
/// if either x or y is 0, then we are comparing the absolute difference to
/// epsilon.
/// if both x and y are non-zero, then we are comparing the relative difference
/// to epsilon.
bool almost_equal(double x, double y, double epsilon)
{
    double diff = x - y;
    if (x != 0 && y != 0){
        diff = diff/y; 
    }

    if (diff < epsilon && -1.0*diff < epsilon){
        return true;
    }
    return false;
}

I used this function for my small project and it works, but note the following:

Double precision error can create a surprise for you. Let's say epsilon = 1.0e-6, then 1.0 and 1.000001 should NOT be considered equal according to the above code, but on my machine the function considers them to be equal, this is because 1.000001 can not be precisely translated to a binary format, it is probably 1.0000009xxx. I test it with 1.0 and 1.0000011 and this time I get the expected result.








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