math questions क्रमचय और संयोजन साक्षात्कार




क्रमचय और संचय प्रश्न pdf download (4)

यह अच्छा है क्योंकि यह बहुत ही सहज है:

गेंदों से भरे रंग की कल्पना करें, जिनमें से दो तिहाई एक रंग के होते हैं और जिनमें से एक तिहाई एक दूसरे का होता है। एक व्यक्ति ने कलश से 5 गेंदें बनाई हैं और पाया कि 4 लाल और 1 सफेद है। एक अन्य व्यक्ति ने 20 गेंदें बनाई हैं और पाया कि 12 लाल और 8 सफेद हैं। दोनों व्यक्तियों में से कौन अधिक आत्मविश्वास महसूस कर सकता है कि कलश में दो तिहाई लाल गेंदें और एक तिहाई सफेद गेंदें हैं, जो इसके विपरीत हैं? प्रत्येक व्यक्ति को क्या अंतर देना चाहिए?

मुझे सही जवाब पता है, लेकिन शायद मुझे काफी अंतर नहीं मिल रहा है। क्या कोई समझा सकता है?


मुझे लगता है कि एक परिकल्पना की 'एक प्राथमिकता' की संभावना दूसरे के विरुद्ध है I/2/2, और इसके अलावा दोनों व्यक्ति इसे निकालने के बाद प्रत्येक गेंद को पुन: सम्मिलित करते हैं (निष्कर्ष एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं)।

सही जवाब यह है कि दूसरे पर्यवेक्षक को पहले की तुलना में अधिक आत्मविश्वास होना चाहिए। कम्प्यूटेशन में एक छोटी सी त्रुटि के कारण मेरा पिछला उत्तर गलत था, बहुत सुधार हुआ था और उसके सुधार के लिए एडम रोजेनफील्ड के लिए +1।

2/3 आर 1/3 डब्ल्यू के अनुसार, "कलश में 2/3 लाल गेंदें और 1/3 सफेद गेंदें शामिल हैं", और 4 आर, 1W को "4 लाल गेंदों और 1 सफेद गेंद को निकाला जाने वाला इवेंट" बताएं। फिर, बेयस के शासन का उपयोग करते हुए,

पी [ 2/3 आर 1 / 3W | 4 आर, 1 डब्ल्यू ] = पी [ 4 आर, 1 डब्ल्यू | 2/3 आर 1/3 डब्ल्यू ] पी [2/3 आर 1/3 डब्ल्यू ] / पी [ 4 आर, 1 डब्ल्यू ] = (2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) / पी [ 4 आर, 1 डब्ल्यू ]

अब, चूंकि 2/3 आर 1 / 3W और 1/3 आर 2 / 3W परिकल्पना से पूरक हैं,

पी [ 4 आर, 1 डब्ल्यू ] = पी [ 4 आर, 1 डब्ल्यू | 2/3 आर 1/3 डब्ल्यू ] पी [ 2/3 आर 1/3 डब्ल्यू ] + पी [ 4 आर, 1 डब्ल्यू | 1/3 आर 2 / 3W ] पी [1/3 आर 2 / 3W ] = (2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) + (1/3) 4 (2/3) 1 (1 / 2)

इस प्रकार,

पी [ 2/3 आर 1 / 3W | 4 आर, 1 डब्ल्यू ] = (2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) / {(2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) + (1/3) 4 (2 / 3) 1 (1/2)} = 2 ^ 4 / (2 ^ 4 + 2) = 8/9

पी के लिए समान गणना [ 2/3 आर 1 / 3W | 12R, 8W ] (अर्थात् (2/3) 12 (1/3) 8 (2/3) के बजाय 8 (1/3) 1 ) अब 16/17 पैदावार, इसलिए दूसरे पर्यवेक्षक का विश्वास अधिक है पहले का


पी [2/3 आर 1 / 3W | 4R, 1W] = (2/3) ^ 4 * (1/3) ^ 1 * (1/2) / {(2/3) ^ 4 * (1/3) ^ 1 * (1/2) + (1/3) ^ 4 * (2/3) ^ 1 * (1/2)} = 2 ^ 4 / (2 ^ 4 + 1) = 16/17

एर,

= ⅔^4*⅓ / (⅔^4*⅓ + ⅓^4*⅔)
= 16/243 / (16/243 + 2/243)
= 16/18

पी (⅔R⅓W | 12R8W) वास्तव में हालांकि = 16/17 है, इसलिए 12R8W अधिक आत्मविश्वास हो सकता है।


हेहे। हो सकता है कि मैं पूरी तरह से गलत हूं लेकिन यह सहज नहीं है कि जवाब दूसरा आदमी होना चाहिए?

एक अनुपात देखता है: 4: 1 4/5: 1/5

दो अनुपात 3: 1 3/4: 1/4 देखता है

इतना आसान सवाल है कि 2/3 के करीब कौन है: 1/3? इसलिए उत्तर ऑब्स है दो।

हो सकता है कि मैंने दो गलतियां की हैं और मुझे कुछ जटिल का सरल जवाब मिल रहा है, परन्तु जो कुछ मैंने सोचा था वह वास्तव में अंतर्ज्ञानी के लिए लंबे समय तक स्पष्टीकरण के माध्यम से जाने के लिए मेरा धैर्य क्षमा करें।


एलीएज़र युडकोव्स्की में Bayes 'प्रमेय (वास्तव में, वास्तव में लंबे, लेकिन अच्छा) की व्याख्या है । लगभग 70% नीचे, एक पैराग्राफ शुरुआत है "आपके सामने एक बुकबैग है" जो इस समस्या के मूल को बताता है।

पंचलाइन यह है कि सभी मामलों में यह अंतर है कि कितने लाल और सफेद गेंदों को तैयार किया गया है। इस प्रकार, जो अन्य लोग कह रहे हैं के विपरीत , आपको कोई गणना करने की ज़रूरत नहीं है (यह उचित धारणाओं (ए) की है कि गेंदों को प्रतिस्थापन के साथ खींचा गया है , या (बी) कलश में बहुत सारी गेंदें हैं। फिर गेंदों की संख्या कोई फर्क नहीं पड़ती।) यहां तर्क दिया गया है:

बेयस के प्रमेय को स्मरण करो: पी (ए | बी) = पी (बी | ए) * पी (ए) / पी (बी)। (शब्दावली पर एक नोट: पी (ए) पूर्व है और पी (ए | बी) पीछे है बी। आपके द्वारा किए गए कुछ अवलोकन हैं, और शब्दावली आपके अवलोकन के पहले और बाद में आपके आत्मविश्वास को दर्शाती है।) प्रमेय का यह रूप है ठीक है, और @ बॉबेंस और @ एडम रॉसेनफ़ील्ड ने इसे ठीक से लागू किया हालांकि, इस फॉर्म का उपयोग सीधे अंकगणितीय त्रुटियों के लिए आपको अतिसंवेदनशील बनाता है और यह वास्तव में Bayes के प्रमेय के दिल को व्यक्त नहीं करता है एडम ने अपने पद में उल्लेख किया (और मैंने ऊपर उल्लेख किया है) कि सभी मामलों में अंतर कितना लाल और सफेद गेंदों के बीच खींचा गया है, क्योंकि "बाकी सब कुछ समीकरणों में समाप्त हो जाता है" किसी भी गणना के बिना हम इसे कैसे देख सकते हैं?

हम अंतर अनुपात और संभावना अनुपात की अवधारणाओं का उपयोग कर सकते हैं। एक बाधा अनुपात क्या है? ठीक है, पी (ए) और पी (ए) के बारे में सोचने के बजाय, हम उनके अनुपात पी (ए): पी (ए) के बारे में सोचेंगे। या तो दूसरे से वसूली योग्य है, लेकिन अंकगणित बाधाओं के अनुपात के साथ अच्छे काम करता है क्योंकि हमें सामान्य रूप से नहीं करना पड़ता है। इसके अलावा, Bayes 'प्रमेय को इसके वैकल्पिक रूप में "प्राप्त" करना आसान है

मेरा क्या मतलब है कि हमें सामान्य बनाने की ज़रूरत नहीं है, और वैकल्पिक रूप क्या है? ठीक है, चलो गणना करें Bayes 'प्रमेय कहते हैं कि पश्च अंतर है

पी (ए | बी): पी (ए | बी) = (पी (बी | ए) * पी (ए) / पी (बी)): (पी (बी) ए * पी (ए) / पी (बी))।

पी (बी) संभावनाओं को एक के बराबर बनाने के लिए एक सामान्य कारक है; हालांकि, हम अनुपात के साथ काम कर रहे हैं, जहां 2: 1 और 4: 2 अंतर एक ही बात है, इसलिए पी (बी) रद्द। हमें एक आसान अभिव्यक्ति के साथ छोड़ दिया जाता है जो कारक होता है:

पी (ए | बी): पी (ए | बी) = (पी (बी | ए) * पी (ए)): (पी (बी) ए) * पी (ए) = (पी (बी | ए): पी (बी | ए)) * (पी (ए): पी (ए))

हम पहले से ही दूसरे शब्द के बारे में सुना है; यह पूर्व विषम अनुपात है पी (बी | ए) क्या है: पी (बी | ए) क्या है? इसे संभावना अनुपात कहा जाता है इसलिए हमारी अंतिम अभिव्यक्ति है

पश्च विषम = संभावना अनुपात * पूर्व बाधाएं

हम इसे इस स्थिति में कैसे लागू करते हैं? ठीक है, मान लीजिए कि कलर की सामग्री के लिए हमें कुछ पूर्व विषमताएं एक्स: वाई हैं, एक्स के साथ 2 / 3rds लाल का प्रतिनिधित्व करते हैं और y 2 / 3rds सफेद का प्रतिनिधित्व करते हैं। मान लीजिए हम एक लाल गेंद को आकर्षित करते हैं संभावना अनुपात पी है (लाल गेंद को आकर्षित किया है। कलर 2 / 3rds लाल है): पी (लाल गेंद आकर्षित कलश 2/3 सफेद है) = (2/3): (1/3) = 2: 1. तो पीछे की बाधाएं 2x: y; हमने एक सफेद गेंद खींची, तो पीछे की बाधाएं एक्स: 2 यानी समान तर्क से होगी। अब हम हर गेंद को अनुक्रम में करते हैं ; यदि ड्रा स्वतंत्र हैं, तो हम सभी विषम अनुपातों को बढ़ाते हैं। इसलिए हम यह मानते हैं कि यदि हम एक्स: वाई के बाधाओं के अनुपात से शुरू करते हैं और आर लाल गेंदों को आकर्षित करते हैं और सफेद गेंदों को देखते हैं तो हमें अंतिम बाधाओं का अनुपात मिलता है

(x: y) * (2: 1) ^ r * (1: 2) ^ w = (x * 2 ^ r): (y * 2 ^ w) = (x: y) * (2 ^ (आरडब्ल्यू) : 1)

इसलिए हम देखते हैं कि सभी मामलों में आर और डब्ल्यू के बीच अंतर है यह हमें आसानी से समस्या का समाधान करने देता है। पहले प्रश्न के लिए ("कौन अधिक आत्मविश्वास चाहिए?"), पूर्व बाधाओं को कोई फर्क नहीं पड़ता, जब तक कि वे 1: 0 या 0: 1 नहीं होते हैं और दोनों लोगों के समान प्रिये हैं दरअसल, यदि उनकी समान पूर्व थी x: y, पहले व्यक्ति का पीछे वाला (2 ^ 3 * x) होगा: y, जबकि दूसरे व्यक्ति का पीछे वाला (2 ^ 4 * x) होगा: y, तो दूसरा व्यक्ति अधिक है ज़रूर।

मान लीजिए कि पहले बाधाएं समान थीं, ये 1: 1 है। फिर पहले व्यक्ति के पीछे के 8: 1 होंगे, जबकि दूसरा व्यक्ति 16: 1 होगा। हम आसानी से इन्हें 8/9 और 16 / 17, अन्य गणना की पुष्टि।

यह मुद्दा यहां है कि यदि आप ऊपर बोल्डेड समीकरण प्राप्त करते हैं, तो यह समस्या वास्तव में आसान है । लेकिन महत्वपूर्ण रूप से , आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि आपने कोई अंकगणित गड़बड़ी नहीं की, क्योंकि आपको इतना छोटा करना होगा

तो यह एक खराब प्रोग्रामिंग प्रश्न है, लेकिन यह बोल्डेड समीकरण का एक अच्छा परीक्षण है। बस अभ्यास के लिए, दो अन्य समस्याओं पर इसे लागू करें:

मैं बेतरतीब ढंग से दो सिक्कों में से एक, एक उचित सिक्का या नकली, डबल-सिर वाला सिक्का, प्रत्येक 50% संभावना के साथ चुनें। मैं इसे तीन बार फ्लिप करता हूं और यह तीनों बार सिर आता है। क्या संभावना है यह असली सिक्का है?

पूर्व बाधाएं वास्तविक हैं: नकली = 1: 1, जैसा कि समस्या में बताया गया है। संभावना है कि मैं असली सिक्का के साथ तीन प्रमुखों को देखा होगा 1/8, लेकिन यह नकली सिक्का के साथ 1 है, इसलिए संभावना अनुपात 1: 8 है। तो बाद के हालात = पूर्व * संभावना = 1: 8. इस प्रकार संभावना है कि यह वास्तविक सिक्का 1/9 है।

यह समस्या भी एक महत्वपूर्ण चेतावनी लाती है: हर संभावित अवलोकन के लिए संभवतः अलग संभावना अनुपात होता है इसका कारण यह है कि बी के लिए संभावना अनुपात पी (बी। ए): पी (बी। ए) है, जो जरूरी नहीं कि ¬ बी के लिए संभावना अनुपात से संबंधित है, जो पी (¬ बी। ए) है: पी (¬ बी | एक ¬)। दुर्भाग्य से, ऊपर के सभी उदाहरणों में, वे एक-दूसरे के उलटा रहे हैं, लेकिन यहां, वे नहीं हैं।

दरअसल, मान लीजिए मैं एक बार सिग्नल को फ्लिप करता हूं और पूंछ लेती हूं। क्या संभावना है यह असली सिक्का है? जाहिर है एक Bayes 'प्रमेय कैसे बाहर की जाँच करता है? ठीक है, इस अवलोकन के लिए संभावना अनुपात यह नकली सिक्का बनाम वास्तविक सिक्का के साथ देखने की संभावना है, जो 1/2: 0 = 1: 0 है। यही है, एक एकल पूंछ को देखते हुए सिक्का होने की संभावना को मारता है नकली, जो हमारे अंतर्ज्ञान के साथ जांच करता है

एलीएजेर के पृष्ठ से मैंने जो समस्या का उल्लेख किया है वह यहां है:

आपके सामने एक पुस्ताबैग है जिसमें 1,000 पोकर चिप्स हैं। मैंने दो ऐसे बुकबैग के साथ शुरू किया, जिसमें 700 लाल और 300 नीले चिप्स थे, जिसमें 300 लाल और 700 नीले रंग के होते थे। मैंने यह निर्धारित करने के लिए एक उचित सिक्का फ़्लिप किया है कि किस बुकबैग का उपयोग किया जाए, इसलिए आपकी पिछली संभावना है कि आपके सामने बुकबैग लाल किताबबाग 50% है अब, आप प्रत्येक चिप के बाद प्रतिस्थापन के साथ यादृच्छिक रूप से नमूना 12 नमूनों में, आपको 8 रेड और 4 ब्लूज़ मिलता है। क्या संभावना है कि यह मुख्य रूप से लाल बैग है? (आपको सटीक होना जरूरी नहीं है - किसी न किसी अनुमान का अनुमान पर्याप्त है।)

पहले बाधाएं लाल हैं: नीले = 1: 1. संभावना अनुपात 7: 3 और 3: 7 हैं, इसलिए पीछे की बाधाएं हैं (7: 3) ^ 8 * (3: 7) ^ 4 = 7 ^ 4: 3 ^ 4। इस बिंदु पर हम अनुमान लगाते हैं कि 7: 3 जैसा अनुमान है, 2: 1, और 2 ^ 4: 1 = 16 प्राप्त करें: 1. हमारा अंतिम उत्तर भी अधिक है, इसलिए यह निश्चित रूप से 95% या इससे भी अधिक है; सही जवाब 96.7% है इसकी तुलना ज्यादातर लोगों के उत्तरों के साथ करें, जो 70--80% रेंज में हैं।

मुझे आशा है कि आप सहमत हैं कि समस्याएं वास्तव में आसानी से और सहज हो जाती हैं , जब इस प्रकाश में देखी जाती हैं







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