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サポートベクターマシン-超平面問題の分離 (2)

内積である内積の定義は、

×y = | x | * | y | * cos(a)

ここで、aはxyの間の最小角度です。

そのxを見るのは簡単です。 a = 90°(pi rad)の場合、 y = 0です。

つまり、法線ベクトルwが固定されているとすると、で与えられる超平面は、

×w = 0

xwと直交する必要がある場合、 xが「指す」ことができるすべての点の集合です。

さて、次の式で与えられる超平面

×w + b = 0

xxを「指す」ことができるすべての点の集合です。 wは定数です。 xが長くなるにつれて、 x | 角度aが大きくなると、角度aは90度(pi rad)に近づき、cos(a)は小さくなり、同じ一定の結果が得られます。 ただし、 xwとは正反対の方向に向けると、cos(a)= -1となります。 x | = b(ただし、 wが単位長である場合)

この点集合から与えられる平面はxと平行であることがわかります。 = 0であり、 が単位長さであると仮定して、距離−bだけ( の方向に)空間的にシフトされる。

この答えはおそらくopを助けることにはならないでしょう、しかしうまくいけば他の誰かがそれから利益を得るでしょう。

私が見たものから、分離超平面は次の形式でなければならないようです

xw + b = 0。

この表記法はあまりよくありません。 私が理解していることから、 xwは内積なので、結果はスカラーになります。 超平面をスカラー+ bで表すことができるのはどうしてでしょうか。 私はこれとはかなり混同しています。

また、 x + b = 0であっても、原点を通る超平面ではないでしょうか。 私が理解していることから、分離超平面は必ずしも原点を通り抜けるとは限らない!


平面を3次元座標系で想像してみてください。 それを記述するためには、その平面の法線ベクトルNとその平面から原点までの距離Dが必要です。 簡単にするために、法線ベクトルが単位長さを持つと仮定します。 その平面の方程式はx N - D = 0です。

説明:x Nは、法線ベクトルN上のxの射影として視覚化できます。結果は、Nに平行なベクトルxの長さです。この長さがDと等しい場合、点xは平面上にあります。





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